Carrefours entre analyse, algèbre et géométrie

Ce livre explore des questions auxquelles quatre années d'études universitaires apportent rarement des réponses.• Pourquoi est-ce le même nombre ? qui figure dans les formules du périmètre et de la surface du cercle ?• Quels sont les rapports entre aire, intégrale et primitive ?• Qu'ont à voir avec la mesure des grandeurs géométriques ou physiques les intégrales de Riemann, de Lebesgue,… ?• L'aire, le volume, … est-ce si naturel ? Une coupe d'un volume compact qui n'aurait pas d'aire, est-ce possible ?• Quel rôle caché joue la convexité dans certaines questions des programmes du secondaire ?• Quel est le rôle unificateur de la notion d'équation, si peu mis en valeur au cours des études ?• 0,99999… est-il égal à 1 ? Que sont les nombres irrationnels, transcendants, constructibles ?• Le polymorphisme des complexes : nombres, vecteurs, transformations…, comment s'en servir ?Ces questions renvoient souvent à des thèmes qui sont au carrefour de l'algèbre, de l'analyse et de la géométrie. Elles renvoient aussi à des problématiques de modélisation. C'est pourquoi l'ouvrage prend pour fil directeur, pour essayer de répondre à ces questions, des questionnements historiques, mathématiques, physiques, épistémologiques, pédagogiques.Ce livre a été d'abord conçu pour les étudiants préparant les concours du CAPES ou de l'Agrégation (ce qui explique le grand nombre d'exercices et de problèmes qu'il contient).Il s'adresse ensuite aux enseignants en formation en deuxième année d'IUFM, ainsi qu'aux enseignants de mathématiques des lycées et collèges, et cela se traduit par le rôle réservé à des questions historiques et pédagogiques.
SommaireCh. 1 : La notion d'équationCh. 2 : Compléments sur les nombres complexesCh. 3 : Le nombre ? entre algèbre, géométrie et analyseCh. 4 : La convexitéCh. 5 : Aires, intégrales et primitives, un cheminement de la géométrie à l'analyse, inspiré de l'histoireCh. 6 : Le problème des primitives des fonctions continues : une solution directeCh. 7 : Les grandeurs géométriques, physiques... et leur formalisation et calcul par les procédures "intégrale" et "dérivée-primitiveCh. 8 : Valeur moyenne d'une fonction, valeurs moyennes d'une grandeurCh. 9 : Aire, volume, mesure de Lebesgue des compactsAnnexe 1 : Les entiers et la récurrence, ensembles finis et infinis, problèmes de dénombrementAnnexe 2 : Quelques exemples d'intervention du numérique en géométrie, et autres remarques sur la géométrie du collègeAnnexe 3 : Le point sur les nombres réels